Die Reise zu den Schwarzen Löchern, Station 2 – wir „wiegen“ die Erde

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Liebe Leser*innen,

und hiermit melde ich mich zu unserer zweiten Station auf der Reise zu den schwarzen Löchern.

Wir haben auf der ersten Etappe gelernt,

• dass alle Körper eine Masse und auch ein Volumen besitzen.
• Wir wissen aus dem Alltag, dass schwere Dinge nicht unbedingt groß sein müssen und leichte nicht klein.
• Archimedes hat uns gezeigt, dass man zumindest feste Körper, die sich in Wasser nicht auflösen, ganz gut auf ihr Masse/Volumen-Verhältnis, Dichte, untersuchen kann.

Wer den vorigen Artikel noch nicht gelesen hat, sollte dies vielleicht für das Verständnis des folgenden noch nachholen.
Zur Wiederholung von Station 1 dieser Reise geht es hier lang.

Heute gehen wir hier einen Schritt weiter. Zunächst geht es um die Beobachtung, dass alle Gegenstände in unserem Alltag auf die Erde fallen. Die Erde zieht also alles in unserer Umgebung an.
Unsere Reise führt uns zunächst ins Italien des ausgehenden Mittelalters zu Galileo Galilei, der uns durch seine Fernrohre und den Satz

Und sie dreht sich doch.

bekannt sein dürfte. Er lebte ungefähr zeitgleich zu Johannes Kepler, der nachher noch eine Rolle spielen wird.

Beschleunigung

Galileo Galilei vermaß im 16 Jahrhundert erstmals die Wirkung, welche die Erde durch ihre Schwerkraft auf fallende Körper ausübt. Wie schnell ein fallender Körper auf der Erde ankommt oder einschlägt hängt im wesentlichen davon ab, aus welcher Höhe er fallen gelassen wird. Seine Masse spielt dabei keine Rolle. Wieso Körper auf der Erde unterschiedlich rasch fallen liegt an ihrem Volumen und ihrer Beschaffenheit. Eine Vogelfeder wird durch die Luft in ihrem Fall gebremst. Ein Mensch kann aus 4000 m Höhe mit einem Fallschirm gemütlich zur Erde gleiten. Hätte er ihn nicht, oder gäbe es die ihn bremsende Luft nicht, dann ginge die Sache für ihn böse aus. David Scott, Astronaut der Mondmission Apollo 15, bewies Galileis 400 Jahre altes Gesetz, dass im Vakuum alle Körper gleich schnell fallen würden. Er ließ aus Hüfthöhe gleichzeitig eine Vogelfeder und einen Hammer auf die Oberfläche des Mondes fallen. Beide kamen gleichzeitig an. Auf der Erde wäre die Feder durch die Luft gebremst worden und hätte sich gegenüber dem Hammer verzögert.
Die Kraft, die ein auf die Erde fallender Körper von ihr erfährt bewirkt, das seine Fallgeschwindigkeit pro Sekunde um 980 cm/s zu nimmt.
Der Rums eines fallenden Körpers hängt also zum einen von seiner Masse ab und zum anderen davon, wie lange der Körper Zeit zum fallen hat, will sagen, aus welcher Höhe man ihn los gelassen hat.
Man nennt diese Einheit Beschleunigung. Sie beträgt also für die Erde 980 cm geteilt durch Sekunde zum Quadrat $(980 cm/S^2)$.
Sie ist die Maßeinheit für die Geschwindigkeitszunahme pro Zeit, die in unserem Falle die Erdmasse mit ihrer Anziehungskraft auf einen auf sie zurasenden Körper bewirkt.
Es geht die Legende, dass Galilei Fallversuche vom schiefen Turm zu Pisa gemacht haben soll. Aber was genaues weiß man nicht.

Mein Schulerlebnis

Was stimmt, ist ein Erlebnis, das ich in der Schule hatte. Wir stiegen mit unseren Physiklehrer auf einen Turm. Wir wollten mit einer Stoppuhr messen, wie lange unterschiedliche Gegenstände so fallen. Als unser Lehrer es mit einem Stein versuchen wollte, nahm das Verhängnis seinen Lauf. In einer Hand die Uhr und in der anderen den Stein bereitete er sich auf den Versuch vor. Gebannt standen wir bei ihm und waren gespannt.

„Auf die Plätze, fertig los“ durfte einer von uns rufen. Dann geschah kurz nichts. Bis wir ein etwas klirrendes Geräusch von unten her vernahmen. Seltsam, dachte ich. So klingt ein Stein eigentlich nicht. Was hier geschehen war. Unser Lehrer drückte beherzt den Knopf der Stoppuhr und warf gleichzeitig den Stein, dachte er. In Wahrheit drückte er beherzt auf den Stein und warf die Uhr hinab.
Für diese Stunde waren die Experimente damit passee, denn wir hatten unseren Zeitmesser verloren…

Aber zurück zur Beschleunigung.

Überlagerungen

Wie gesagt wird die Beschleunigung durch die Kraft einer Masse, die Gravitation auf fallende Körper ausgeübt. Wir kennen dank Galilei ihren Wert hier auf der Erde.
Auf dem Mond ist die Beschleunigung geringer, weil er weniger Masse besitzt. Somit kann er auf fallende Körper nur weniger Kraft ausüben.
Aber nochmal. Ein Rums auf dem Mond muss deshalb nicht weniger heftig sein, wenn man der auf ihn zu rasenden Masse, z. B. einem Asteroid genügend Zeit gibt. Und die hat er im Weltall allemal.

Galilei fand bei seinen Fallversuchen auch heraus, dass sich Bewegungen überlagern können. Das kann man z. B. an einem Wasserstrahl sehen, der aus einem gerade aus gehaltenen Schlauch spritzt. Er beschreibt einen Bogen, genauer einen Teil einer Parabel, bis die Tropfen auf die Erde fallen. Das Wasser wird also sobald es den Schlauch verlassen hat, von der Erde mit der Erdbeschleunigung beschleunigt, so dass die Tropfen zu fallen beginnen. Gleichzeitig schießt der Strahl aber durch den Wasserdruck geradeaus aus dem Schlauch heraus. Diese beiden Bewegungen überlagern sich zeitlich, weshalb der Strahl gebogen wird, ehe er zu Boden fällt.

Hält man den Schlauch schräg nach oben, dann steigt der Strahl zunächst bogenförmig in die Höhe und fällt dann bogenförmig zu Boden. Das liegt daran, dass die Kraft des Wasserdrucks aufhört, sobald der Wasserstrahl den Schlauch verlässt, die Kraft der Erdbeschleunigung aber nicht. Sie wirkt und wirkt. Somit bremst sie die fliegenden Wassertropfen ab, überwiegt schließlich und lässt das Wasser auf die Erde fallen.

Die Kraft, die eine Beschleunigung auf eine Fallende Masse ausübt, wird also mit der Fallzeit stärker. Sie berechnet sich also als Masse mal Beschleunigung.

Was Kepler nicht wusste

Johannes Kepler wusste um diese Überlagerungen von Bewegungen. Planeten umkreisen ihre Sterne, weil sie einerseits von ihnen angezogen und andererseits eine Eigenbewegung haben. Ohne Stern würden sie geradeaus ins nirgendwo verschwinden. Die Kravitation zwingt sie dazu, dass sich diese Kräfte überlagern. Sie fallen also elliptisch um ihre Sterne herum. Was aber für diese Anziehung verantwortlich ist und weshalb die Planetenbahnen sind, wie sie eben sind, wusste er nicht genauer. In seinen drei Keplerschen Gesetzen tauchen keine Massen, keine Kräfte und schon gar keine Gravitationskonstante, von welcher wir später noch hören werden, auf. Sie verallgemeinern lediglich die Beobachtungen, die Kepler bei den Studien der Planetenbewegungen machte.

Schwere und träge Masse

Aus Galileis Fall-Versuchen folgt auch, dass eine Masse sich widersetzt, wenn man sie in eine Richtung beschleunigen möchte. Sie will ihre Bewegungsrichtung beibehalten, oder hier auf Erden gedacht, in Ruhe gelassen werden. Das Wasser aus dem Schlauch möchte einfach in die Richtung weiter fliegen, in welche der Schlauch zeigt, aber die Kraft der Erdanziehung und natürlich auch die Luft bremsen ihn ab, zwingen den Strahl zur Änderung der Richtung und zieht ihn letztlich doch zu boden.
Und noch etwas kann man aus all dem folgern.
Ein schwerer Körper kann aus niedriger Fallhöhe eben so viel Schaden anrichten, wie ein leichterer und kleinerer Körper, der aus größerer Höhe fällt, und somit mehr Zeit hat, sich mit „Kraft“ aufzutanken.
Betrachtet man nur den Schaden, dann kann man nur noch schwer feststellen, ob die Masse einfach schwer war oder aus einer größeren Höhe fallen gelassen wurde. Sicher kann man das z. B. in dem man einen Krater oder so betrachtet dann doch noch beurteilen, aber erst mal nicht.
Eigentlich müsste man an dieser Stelle noch den Begriff der Energie und der Arbeit einführen, aber das sparen wir uns für heute.

Auf jeden Fall führt uns dieser scheinbare Unterschied zwischen schwerer und bewegter Masse nach England zu einem Mathematiker, der sich mit dieser Frage beschäftigte.

Newtons Apfel

Am Anfang steht auch hier eine Geschichte, die vielleicht sogar wahr ist.
Im Sommer 1665 legt sich Isaac Newton im Garten seines Elternhauses in Woolthorpe nahe Cambridge unter einen Apfelbaum. Vermutlich ist ein schöner Sommertag, vermutlich weht ein leichtes Lüftchen. Auf irgendeine Art und Weise jedenfalls löst sich ein Apfel der Sorte „Flower of Kent“ vom Ast und fällt zu Boden. So wird es der inzwischen berühmte Physiker über 60 Jahre später, am 15. April 1726, seinem Freund und Biografen William Stukeley erzählen.
Ob der Apfel Newton am Kopf trifft oder in einiger Entfernung aufprallt, ist in unterschiedlichen Versionen überliefert. So oder so löst das Ereignis in der Physik ein Erdbeben aus.

Warum müssen Äpfel immer senkrecht zu Boden fallen, warum nicht seitwärts oder aufwärts, warum immer Richtung Erdmittelpunkt?“,

wird Newton später schreiben. „Sicher ist der Grund dafür, dass die Erde den Apfel anzieht.“ Newton hat das allgemeine Gravitationsgesetz gefunden.
Isaac Newton fand heraus, dass die Schwerkraft eines Körpers von seiner Masse abhängt. Somit ist Masse nicht nur die Kraft, die einem ein Körper entgegensetzt (träge Masse) sondern sie ist auch eine Eigenschaft der Materie selbst (schwere Masse). Sie sind also nichts verschiedenes, sondern dasselbe.

Das bedeutet, dass man für die Berechnung der Wechselbeziehungen der Schwerkraft zwischen Körpern gar nicht so sehr auf ihr Volumen achten muss, sondern man kann die Massen als Punktmassen betrachten.
Somit übt die Gravitation der Erde eine Kraft auf fallende Körper aus, die dafür sorgt, dass fallende Körper immer schneller fallen.

Wichtig wird das Volumen natürlich dann,

• wenn man sich auf den Körpern, z. B. auf der Erde befindet,
• wenn man dort Dichten und Wichten verschiedener Körper miteinander vergleichen möchte,
• wenn man wissen will, wie lange ein Gegenstand für seinen Fall zu Boden aus einer bestimmten Höhe benötigt
• oder wenn man sich mit einer Rakete z. B. von der Erde entfernen möchte.

Die Kraft F berechnet sich aus Masse mal Beschleunigung. Sie wird in Newton angegeben
1 Newton (N) berechnet sich aus Masse mal Erdbeschleunigung, Näherungs weise 1 kg * Meter/s^2.

Newton entdeckte auch noch die Eigenschaft der Gravitation, dass sie quadratisch zum Abstand zweier Massen abnimmt.

Newtons Problem

Newton hatte aber nun noch ein Problem. Wenn zwei Massen gravitativ miteinander wechselwirken, dann muss es für die Berechnung auch eine Gravitationskonstante geben. Eine Konstante, die ausdrückt, mit welcher Kraft zwei gleiche Massen gravitativ miteinander wechselwirken. Kennt man diese Konstante nicht, dann kann man nicht im voraus berechnen, wie zwei unterschiedliche Massen gravitativ aufeinander wirken. Im Falle sich zweier umkreisender Körper, z. B. Erde und Mond könnte man noch die Massenverhältnisse beider Körper angeben, wenn man deren Abstand kennt, aber mehr auch nicht.

Die genaue Bestimmung dieser Gravitationskonstante G ist bis heute ein Problem, weil die Kraft, die zwischen zweier gleichen Massen mit gegebenem Abstand, z. 1 m wirkt äußerst gering und somit nur sehr schwer zu bestimmen ist. Erschwerend kommt hinzu, dass hier auf Erden zu viele andere Störeinflüsse, die Erdmasse selbst, Wind, Vibrationen und sogar die Anwesenheit des Versuchsleiters, der mit seiner eigenen Masse beim Versuch anwesend ist, existieren. Somit konnte Newton lediglich Massen proportional zueinander ins Verhältnis setzen. und in Versuchen überprüfen, ob seine Schätzung auf einen gegebenen Versuchsaufbau, bei welchem alle anderen Parameter, wie Versuchsmassen und Abstände passen.
Bestimmt wurde die Gravitationskonstante 200 Jahre nach Newton von Mark Cavendish. Er dachte sich einen besonderen Versuchsaufbau aus. Er nahm zwei Körper, deren Gewicht genau bekannt war und verband diese ähnlich, wie eine Hantel mit einer Stange. Dieses Gebilde hängte er an einem Draht im Gleichgewicht aus, dessen Torsionskraft (Rückstellkraft) bekannt war. Diese Kraft setzt ein Draht entgegen, wenn man ihn in sich verdreht. Nun beeinflusste er sein Gebilde mit zwei weiteren seitlich an seinen Versuchsaufbau geführte massen, die durch ihre Gravitation Cavendishs Torosionswaage leicht verdrehten. Diese Drehung beobachtete Cavendish mittels eines Spiegels, der am Draht befestigt war und einen Lichtstrahl ablenkte. Beobachtet hat Cavendish seinen Versuch aus der Ferne mit einem Fernrohr, um zu vermeiden, dass er selbst mit seiner Körpermasse den Versuch beeinflusst.
Somit bestimmte er zum ersten male näherungsweise die Gravitationskonstante. Bis heute ist sie zwar genauer angenähert worden, bereitet aber ab der vierten Stelle nach dem Dezimalpunkt noch Probleme, was äußerst unbefriedigend ist.

Wie auch immer. Wir lösen jetzt unser Versprechen ein und werden unsere Erde „wiegen“, wobei „wiegen“ im Grunde nicht richtig ist, denn man kann die Erde nicht einfach auf eine Waage legen. Man muss eher sagen, dass wir das Gewicht der Erde bestimmen wollen.

Wer mag kann ja dann die Länge des Hebels berechnen, mit dem Archimedes aus dem vorigen Artikel die Welt aus den Angeln heben wollte.

Was wissen wir

Tragen wir also mal zusammen, was wir über unsere Aufgabe wissen.

• Wenn Newton generell von Punktmassen ausgeht, dann dürfen wir die Erde als perfekte Kugel ansehen und die zweite Masse mit der sie gravitativ wechselwirken soll ebenso.
• Die Gravitationskraft nimmt quadratisch zum Abstand Erde-Vergleichsmasse ab.
• Die Masse der Erde kennen wir nicht. Die soll ja berechnet werden.
• Ihren Radius kennen wir.Schon die alten Griechen berechneten an Schattenwürfen den Erdradius. Er beträgt ungefähr 6300 km. Siehe Die Bestimmung des Erdradius nach Eratosthenes.
• Wir kennen das Gewicht einer Vergleichsmasse, mit deren Hilfe das Gewicht der Erde berechnet werden soll, denn die Erde muss ja mit etwas wechselwirken, damit sie uns ihr Gewicht verrät.
• Wir kennen den Abstand zwischen der Erde und unserer Vergleichsmasse.
  Da Newton von Punktmassen ausgeht, errechnet sich dieser aus Erdradius plus Abstand zur Vergleichsmasse plus deren Radius.
• Dank Galileo kennen wir die Erdbeschleunigung von 980 cm/s^2
• Dank Cavendishs Versuchsaufbau kennen wir nun auch diese schwer zu bestimmende Gravitationskonstante G.
  Sie beträgt im ganzen Universum
  G = f(G) * R^2 /m1 *m2
  G = (6,67259 Plus-minus 0,00085) mal 10 hoch(-11)
  $G = (6,67259 \pm 0,00085) \times 10^{-11}$
• Und dank Newton kennen wir die Kräftegleichung.

Die Gleichung, wie man sie umstellt und deren Herleitung, wie man man damit das Gewicht der Erde bestimmt, knalle ich euch jetzt einfach mal hier hin.
Keine Angst. Es ist mathematisch wirklich kein Hexenwerk. Die Formeln sind tatsächlich überschaubar. Man muss halt drauf kommen…
Die Formeln in dem Artikel, auf den ich euch gleich schicke, sind in LaTeX gesetzt und werden auch grafisch dargestellt. Auf Braille-Zeilen werden sie in englischer Mathematikschrift angezeigt, weil der Export von Mathjax nach Marburger Mathematikschrift derzeit noch nicht möglich ist.
Deshalb wähle ich hier zusätzlich auch noch eine für uns lesbarere Schreibweise.
Möglicherweise setze ich, wenn ich Zeit habe, die ganze Herleitung noch für Braille-Zeilen um.
Die Kräftegleichung lautet: G = f(G) * R^2 /m1 *m2
Zur Herleitung der Erdmasse geht es hier lang.

Abspann

Jetzt wäre es natürlich interessant zu wissen, was z. B. die Sonne, andere Planeten, andere Sterne und schließlich auch schwarze Löcher wiegen.
Mit diesen Themen befassen wir uns in Station 3 dieser Serie.
Jetzt hoffe ich, dass es nicht zu viel Mathematik war, aber ganz ohne ging es halt hier nicht.