Die Reise zu den Schwarzen Löchern, Station 5, – Urstoff und Klebstoff


Ich grüße euch,

Worum geht es

Heute, auf Station 5 zu unseren schwarzen Löchern wird es sehr entspannt zugehen, was Mathematik etc. betrifft. Es wird eine Folge der Verblüffung und hoffentlich des Staunens für uns werden. Es geht zum einen quasi um den Grundaufbau des ganzen Universums, um den “Urstoff” aus dem alles, also auch wir bestehen. Zum anderen beschäftigen wir uns mit weiteren fundamentalen Kräften, dem Klebstoff, die das alles zusammenhalten. und schließlich werden wir darauf eingehen, wo von es im Universum am meisten gibt, nämlich “Nichts”.
Und all das wird dann auf unseren nächsten Stationen fundamental wichtig werden.

Auf der Suche nach dem unteilbaren Urstoff

Der Streit darüber, woraus das Universum besteht, geht bereits auf die alten Griechen zurück. Sie diskutierten sehr kontrovers, woraus das Universum bestehen könnte. Von da an begann die Suche nach dem Urstoff, nach dem Unteilbaren (Atom), nach den Grundbausteinen allen Lebens uns Seins.

Das erste Atommodell geht auf die beiden griechischen Philosophen Leukipp und seinen Schüler Demokrit zurück. Beide waren der Ansicht, dass sich Materie nicht beliebig weit zerteilen lasse. Vielmehr müsse es ein kleinstes Teilchen geben, das nicht weiter zerteilbar ist: Das „Urkorn“ oder „Atom“ (atomos = griech. unteilbar).
Es sollte somit kleinste Bausteine geben, die nicht weiter teilbar sind.
Wie die beiden Philosophen sich diese Teilchen im Detail vorstellten, führt uns hier zu weit.
Beide Philosophen stützten ihre Theorien nicht auf Experimente, sondern auf Nachdenken.

Im Jahr 1803 griff der Chemiker und Lehrer John Dalton – inspiriert durch das vom Chemiker Joseph-Louis Proust formulierte Gesetz der konstanten Mengenverhältnissen bei chemischen Reaktionen Demokrits Vorstellung von unteilbaren Materiebausteinen wieder auf. Er entwickelte ein Atommodell mit folgenden Hypothesen:

  • Jede Materie besteht aus Grundbausteinen, den unteilbaren Atomen.
  • Die Atome eines Elements sind untereinander gleich,
  • die Atome verschiedener Elemente unterscheiden sich stets in ihrer Masse und Größe.
  • Jeweils eine ganze Zahl an Atomen verschiedener Elemente bildet Verbindungen.

Durch diese Atomhypothese war Dalton in der Lage, das Gesetz von der Erhaltung der Masse, das Gesetz der konstanten Proportionen und das Gesetz der multiplen Proportionen zu erklären.

Im Jahr 1897 entdeckte Joseph John Thomson bei Untersuchungen einer Glühkathode, dass es sich bei der austretenden Strahlung um einen Strom von Teilchen handeln müsse. Diese auf diese Weise entdeckten „Elektronen“ ließen sich durch ein Magnetfeld ablenken und besaßen eine fast 2000 mal kleinere Masse als das leichteste bekannte Atom (Wasserstoff).
Da Thomson diesen „Elektronen“-Strahl aus jedem Metall durch Erhitzen gewinnen konnte, mussten diese Teilchen bereits im Metall enthalten sein. Atome konnten folglich nicht die kleinsten Bausteine der Materie bzw. unteilbar sein.
Thomson schlug daher im Jahr 1904 folgendes Atommodell vor:

  • Jedes Atom besteht aus einer elektrisch positiv geladenen Kugel, in die elektrisch negativ geladene Elektronen eingelagert sind – wie Rosinen in einem Kuchen.
  • Die Atome sind nach außen hin neutral. Sie können jedoch Elektronen abgeben oder zusätzliche aufnehmen.
  • Bei der Abgabe von Elektronen entstehen aus den ursprünglich neutralen Atomen positiv geladene Ionen, bei der Aufnahme von Elektronen entstehen entsprechend negativ geladene Ionen.

Durch sein Atommodell konnte Thomson die Kathodenstrahlung sowie die Erkenntnisse aus der Elektrolyse-Forschung von Michael Faraday erklären.

Im Jahr 1911 führte Ernest Rutherford ein Experiment durch, bei dem er einen Strahl radioaktiver Alpha-Teilchen auf eine dünne Goldfolie lenkte. Bei Alpha-Teilchen handelt es sich um Helium-Kerne, die aus zwei Protonen und zwei Neutronen bestehen.
Die meisten Alpha-Teilchen konnten die Goldfolie ungehindert durchdringen, nur wenige wurden (teilweise sehr stark) abgelenkt. Dieses Ergebnis ließ sich nicht durch die Vorstellung kompakter Atomkugeln (Thomson-Modell) erklären. Der wesentliche Teil der Masse und die positive Ladung des Atoms mussten sich vielmehr in einem kleinen Bereich im Inneren befinden, an dem die auftreffenden Alpha-Teilchen abprallen konnten. Das meiste Volumen hingegen musste die masselose, negativ geladene und aufgrund der geringen Größe der Elektronen weitgehend „hohle“ Hülle des Atoms einnehmen.
Rutherford fasste seine Erkenntnisse in folgendem Atommodell zusammen:

  • Das Atom besteht aus einem Atomkern und einer Atomhülle.
  • Der Atomkern ist elektrisch positiv geladen und befindet sich im Zentrum des Atoms.
  • Der Durchmesser des Atomkerns beträgt nur ein Zehntausendstel des gesamten Atomdurchmessers.
  • In der Atomhülle befinden sich negativ geladene Elektronen, die um den Atomkern kreisen. (Durch ihre schnelle Bewegung verhindern die Elektronen, dass sie in den entgegengesetzt geladenen Atomkern stürzen.)
  • Die Atomhülle ist ein fast „leerer“ Raum, da die Elektronen noch viel kleiner sind als der Atomkern.

Mit seinem Atommodell konnte Rutherford allerdings noch keine Aussagen über die Bahnform der Elektronen und über ihre Energieverteilung treffen.

Im Jahr 1913 formulierte Niels Bohr ein Atommodell, das von einem planetenartigen Umlauf der Elektronen um den Atomkern ausgeht. Damit konnte er – beeinflusst durch die Quantentheorie Max Plancks und die Entdeckung des Photoeffekts durch Albert Einstein – erstmals die im Mikrokosmos stets in bestimmten Vielfachen auftretenden Energiesprünge deuten.
Diese waren seit der Untersuchung der Spektren von Gasentladungsröhren eines der größten Rätsel der damaligen Physik.

Das Atommodell für Wasserstoff nach Bohrpostuliert:
Jedes Elektron umkreist den Atomkern auf einer Kreisbahn. Beim Übergang eines Elektrons von einer äußeren Elektronenbahn in eine innere Elektronenbahn wird ein Lichtquant (Photon) ausgesendet.

Bohr war sich darüber bewusst, dass das Modell kreisförmiger Elektronenbahnen einen Widerspruch mit sich führte: Da jede Kreisbahn einer beschleunigten Bewegung entspricht und beschleunigte Ladungen elektromagnetische Wellen abstrahlen, müssten Elektronen ständig Energie abgeben und dadurch immer langsamer werden. Sie würden somit – angezogen von der positiven Ladung des Atomkerns – in nur wenigen Bruchteilen einer Sekunde spiralförmig in den Atomkern stürzen.
Um sein Atommodell zu retten, das auch mit anderen experimentellen Ergebnissen bestens übereinstimmte, führte Bohr die beiden folgenden Postulate ein

  1. Die Elektronen umkreisen den Atomkern strahlungsfrei, d.h. ohne Abgabe von Energie, in bestimmten Bahnen. Dabei nimmt die Energie der Elektronen nur ganz bestimmte, durch die jeweilige Bahn charakterisierte Werte an.
  2. Der Übergang zwischen einer kernfernen zu einer kernnahen Bahn erfolgt sprunghaft unter Abgabe einer Strahlung (eines Photons).

Und damit soll die Geschichte des Atoms erst mal genügen. Es gab weitere Modifikationen und Erweiterungen des Atom-Modells. Bis heute ist das alles noch im Fluss und entwickelt sich weiter.
Für uns ist an dieser Stelle wichtig:

  • Atome bestehen aus einem Kern von Protonen und Neutronen und einer Elektronenhülle
  • Das Unteilbare wurde mit der Zeit immer teilbarer.
  • Protonen sind positiv geladen und Elektronen negativ. Neutronen sind neutrale Teilchen, die sich ebenfalls im Atomkern befinden.
  • Ein Atom ist dann neutral, wenn die Anzahl seiner Protonen im Kern und die seiner Elektronen gleich sind.
  • Die Anzahl der Elektronen legt die chemischen Eigenschaften eines Atoms fest, will sagen, wie willig es ist, sich mit anderen Elementen zu “verheiraten”, oder eben nicht.

Jetzt könnte man berechtigt meinen, dass die Kerne in dem Fall doch eher auseinander fallen sollten, weil sich die Protonen abstoßen, denn sie sind, wie gesagt positiv geladen. Außerdem könnte es ja sein, dass die Elektronen ob ihrer negativen Ladung in den Kern hinein gezogen werden. Wir erinnern uns, dass Bohr sich diese Fragen auch stellte.
Es muss also Kräfte geben, die all dieses verhindern.

Der Klebstoff des Universums

Was die Welt in ihrem Inneren zusammen hält sind vier Grundkräfte, die in unserem ganzen Universum gültig sind.

Da sind zunächst die starke und die schwache Kernkraft. Diese sorgen dafür, dass Atomkerne trotz ihrer Abstoßung der Protonen stabil zusammen bleiben und dass Atome auch radioaktiv in andere Teilchen zerfallen können. Diese beiden Kräfte werden wir auf unserer Reise als die Kernkraft zusammen fassen. Diese, vor allem auch die starke Kernkraft wirkt nur auf sehr schwache Distanz, etwa eines Durchmessers eines Atomkerns, aber dann um so mehr. Stellt euch zwei Magnete vor, die sich gerne anziehen würden, es aber nicht können, weil sie von einer starken Feder auseinander gedrückt werden. Die Feder steht in dem Falle für die abstoßende Kraft zwischen zweier Protonen.
Wenn man nun die Feder zusammendrückt, so dass sich die beiden Magnete nahe kommen, dann kann es geschehen, dass plötzlich die Magnetkraft überwiegt und stärker als die Feder wirkt.
Die Kraft zwischen den Magneten steht in diesem Beispiel für die Kernkraft, die nur auf kurze Distanzen wirkt.
Ich meine mich zu erinnern, dass es derartige Spielzeuge mit Magneten und Federn tatsächlich gab.

Auf jeden Fall ist die elektromagnetische Kraft, also die Abstoßung von Elektronen dafür verantwortlich, dass wir Materie spüren können. Ein Buch auf dem Tisch fällt trotz der überwiegenden Leere des Vakuums nicht durch die Tischplatte, weil sich die Elektronen der Buchhülle und die der Atome der Tischplatte gegenseitig abstoßen. Es sind einfach immer genügend Elektronen vorhanden, die das Buch nicht in die Leere stürzen lassen. Dasselbe geschieht natürlich auch mit deiner Hand, wenn Sie auf den Tisch liegt.
Hier mal kurz eine Tabelle, die zeigt, wie stark die einzelnen Kräfte gegeneinander verglichen, tatsächlich sind.

Name Verhältn.
Starke Kernkraft 10 hoch 3
Elektromagnetische Kraft 1
Schwache Kernkraft 10 hoch minus 11
Gravitationskraft 10 hoch minus 39

Über die Gravitation, die heimliche Herrscherin des Universums haben wir uns schon unterhalten.
Ich habe auf meinen Artikel dazu schon auf einer unserer letzten Stationen hin gewiesen und möchte dies an dieser Stelle dringend wiederholen. Ich empfehle wirklich, sich mit dieser Dame und ihres Wesens vertraut zu machen.
Zur heimlichen Herrscherin bitte hier lang.

Das Vakuum

Der letzte Punkt für heute, der uns stutzen lassen sollte ist die Tatsache, dass wenn man ein Atom auf die Größe eines Fußballstadions aufblasen würde, dann schwebte der Kern, der fast 100 % der Atommasse ausmacht, gleich einer Schrotkugel in der Mitte des Stadions, wobei die Elektronen ruhelos durch die Zuschauerränge waberten. Das meiste also in Atomen ist leere und noch viel mehr leere gibt es zwischen ihnen, im sog. Vakuum.

Das Vakuum ist so ein merkwürdig Ding, dass ich an dieser Stelle dringend auf meinen Artikel Nichts ist auch was hinweisen möchte. Ich rate euch, den zu lesen, denn er behandelt das Vakuum in seiner Schönheit und in seinen Einzelheiten.
Danach haben jene, die noch nicht erschlagen sind, die Möglichkeit, tiefer in die Eigenschaften der Leere einzutauchen.
Hierfür schrieb ich ganz am Anfang dieses Blogs den Artikel “Die Leere füllt sich wieder”. Der ist zwar schön und faszinierend, und ich freue mich, wenn er gelesen wird, aber für unsere folgenden Stationen ist er nicht von Belang.
Er ist etwas nerdig…
Dazu bitte hier lang.

Vorschau

Auf unserer nächsten Station befassen wir uns mit etwas, dass uns allgegenwärtig umgibt. Mal mehr, mal weniger. Es wird sich um nichts geringeres als das Licht drehen. Da schwarze Löcher auch das Licht beeinflussen, wie die meisten schon gehört haben dürften, ist es richtig und wichtig, sich auch in diesem Zusammenhang mal mit ihm zu beschäftigen. Ich verrate euch jetzt schon, dass es sehr spannend und aufregend werden wird mit vielen Geschichten und allem, was ich gerne so in meine Artikel schreibe…

Die Reise zu den Schwarzen Löchern, Station 4, – Wie komme ich hier wieder wech?


Meine lieben Mitlesenden,

und hier melde ich mich mit Station 4 auf unserer Reise zu den schwarzen Löchern zurück.

Prolog

Ich habe schon gehört, dass vor allem die letzten beiden Stationen doch etwas sehr mathematisch waren und das manche daher eher mal ausgestiegen sind. Ja, das war schon bissel viel Mathe, aber wir werden uns im Laufe unserer Reise daran erinnern. Nur erinnern und nicht mehr. Heute gebe ich hier und jetzt das Versprechen, dass wir zwar heute noch kurz etwas Mathematik machen müssen, aber dann sind wir damit über den Berg.

Auf den letzten Stationen unserer Reise wird uns zwar Albert Einstein begegnen, aber nur begegnen. Wir werden sein Werk würdigen, aber nicht mit seinen Formeln zu rechnen versuchen.

Worum es heute geht

Heute wollen wir uns zum Abschluss dieser ganzen Gravitations-Berechnungen nochmal kurz darüber unterhalten, was man beachten muss, wenn man überhaupt der Gravitation eines Himmelskörpers entweichen möchte.

  • Jeder hat sicher schon mal gehört, dass schwarze Löcher schwarz sind, weil sie alles aufsaugen, was in ihre nähe kommt und weil sie so schwer sind, dass nicht mal mehr das Licht aus ihnen entweichen kann.
  • Das Licht unserer Sonne kann noch von ihr entweichen, weil sie leichter ist.
  • Wir können mit einer Rakete von der Erde entweichen, wenn sie stark genug ist.
  • Die Mondfahrer konnten wieder vom Mond abheben, um zur Erde zurück zu kehren. Er hielt das Raumschiff mit seiner Gravitation nicht fest genug.
  • Momentan macht ein kleiner Hubschrauber auf dem Mars Furore. Der könnte, ganz davon abgesehen, dass er nicht für das Weltall gebaut ist, nicht so hoch vom Mars abheben, weil er diese Kraft nicht aufbringen kann.
  • Nicht zuletzt schaffen wir es aus eigener Kraft mit einem Hüpfer nicht ins all. Wir fallen immer wieder zurück.

All diesen Beispielen ist gemeinsam, dass Gravitationskräfte von Himmelskörpern überwunden werden müssen, um ins All zu kommen und nicht wieder zurück zu fallen.
Wie viel Kraft, also Energie oder Treibstoff es kostet, einen Himmelskörper verlassen zu können hängt von seiner Masse und auch von seinem Volumen ab. Ein relativ kleiner Körper, der eine sehr hohe Dichte hat, z. B. ein Bleiplanet, könnte uns stärker an seine Oberfläche binden als ein schwerer Körper, der aus einem Material deutlich geringerer Dichte besteht, z. B. ein Schaumstoff-Planet gleicher Masse.
Um die Verhältnisse der Anziehung auf verschiedenen Himmelskörpern vergleichen zu können, muss man nicht nur die Masse berechnen, die sich aus Newtons und den Keplerschen Gesetzen ergeben. Man muss sich auch darüber klar sein, wie es sich verhält, wenn man z. B. auf so einem Körper landen möchte, und vor allem, wie man von ihm auch wieder weg kommt, wenn man vielleicht mal wieder heim will.
Um dieses Problem geht es jetzt.

Die Oberflächenschwerkraft

Das ist die Kraft, die man an der Oberfläche eines Körpers erfährt. Die ist wichtig, wenn man vergleichen möchte, wie es sich verhält, wenn man sich an der Oberfläche eines Himmelskörpers befindet. Sie drückt quasi aus, wie stark etwas an seiner Oberfläche festgehalten wird.Nehmen wir das Beispiel Erde-Mond, weil Menschen schon oft auf seiner Oberfläche gestanden haben und die ganzen Theorien überprüfen konnten.

Jeder kennt die Bilder, zu welch hohen Sprüngen die Astronauten auf der Mondoberfläche fähig waren. Das lag nicht an der Freude, dass sie die ersten dort waren, sondern eben an der unterschiedlichen Oberflächenschwerkraft von Mond und Erde.
Wie man diese nun miteinander vergleicht, kommt jetzt.

Wann immer man zwei Punkte miteinander vergleicht, von denen der eine ebenso weit vom Erdmittelpunkt der Erdoberfläche entfernt ist, wie der andere vom Mittelpunkt des Mondes zur Mondoberfläche, dann ist das Schwerefeld der Erde in einem Punkt 81,3 fach stärker als das Schwerefeld des Mondes im anderen Punkt.
Wenn wir auf dem Mond stehen, sind wir 1738 km vom Mondmittelpunkt entfernt. Stehen wir auf der Erde, so sind wir 6371 km vom Erdmittelpunkt entfernt. Berechnet man nun die jeweilige Oberflächen schwerkraft, muss man die Abstände zu den Mittelpunkten berücksichtigen.
Der Abstand der Erdoberfläche zum Erdmittelpunkt ist 3,666 mal größer als der Abstand vom Mond-Mittelpunkt zur Mondoberfläche.
Die Stärke der Schwerkraft sinkt quadratisch, so dass die Oberflächenschwerkraft der Erde im Verhältnis zur Oberflächenschwerkraft des Mondes um einen Faktor 3,666 zum Quadrat = 13,44 geschwächt erscheint.

Wir müssen also das eigentliche Schwerefeld der Erde, das ja 81,3 fach stärker ist als das des Mondes durch 13,44 teilen, was dann 6,05 ergibt.
Somit ist die Oberflächenschwerkraft der Erde nur 6,5 mal stärker, als die des Mondes.
Voilla, auf dem Mond wiegen wir noch ein Sechstel, obgleich der Mond doch um 81,3 fach leichter ist, als die Erde. Hier schlägt tatsächlich der Radius zu.

Das kann man natürlich jetzt auch mit allen anderen Himmelskörpern des Sonnensystems so tun. Da fragt sich nur, wo denn bei den Gasriesen die Oberfläche sein soll. Sie bestehen ja bis tief in ihr Inneres aus Gas. Im Inneren dürfte beispielsweise Jupiter aus flüssigem metallischen Wasserstoff bestehen. Ob er in der Mitte einen festen Kern besitzt, wissen wir noch gar nicht so genau.

Man nimmt dazu die Atmosphärenschicht des Gasplaneten, bei der ihr Druck dem Normaldruck auf Meereshöhe hier auf der Erde entsprechen würde, könnte man dort Station machen. Was soll man auch anderes vergleichbares nehmen. Gasplaneten haben ja sozusagen keinen festen Boden.

Wie die Dichte von Atmosphären, also von Gasen mit ihrer Dicke zunimmt, weiß man ziemlich genau. Diese Formeln benötigen wir hier auf der Erde in der Luft- und Raumfahrt und für die Vorhersage unseres Wetters. Da sich im Gegensatz zu Flüssigkeiten Gase zusammendrücken lassen, nimmt der Druck in ihnen nicht linear zu, wie beispielsweise in Wasser, sondern exponentiell. Den Druck auf sie übt natürlich das Gravitationsfeld des Planeten aus, dessen Atmosphäre sie sind.
Die genaue Erklärung dieser Gas-Druck-Geschichte würde aber den Artikel hier sprengen und ich würde mein Versprechen brechen, nicht wieder so mathematisch werden zu wollen.

Hier eine kleine Tabelle, die mal die jeweilige Oberflächenschwerkraft aller Planeten im Verhältnis zu derjenigen der Erde darstellt. Die Erde hat daher die 1.

Planet Oberflächenschwerkraft
Merkur 0,38
Venus 0,9
Erde 1
Mond 0,17
Mars 0,38
Jupiter 2,62
Saturn 1,14
Uranus 0,88
Neptun 1,13

Ganz erstaunlich finde ich, dass man auf dem Jupiter bei unserer hypothetisch gedachten Oberfläche nur etwa zweieinhalb mal so viel wiegt als auf der Erde, obwohl er mehr als doppelt so schwer ist, wie alle anderen Planeten zusammen.
Wer mag, kann sich ja mal im Internet eine Tabelle mit den Planetenradien vornehmen, um sich dieses Wunders zu erfreuen.

Die Entweichgeschwindigkeit

Und nun kommen wir zur eigentlichen Frage der Überschrift.

Wie komme ich hier wieder wech?

Wer in den Weltraum, wer auf Mond, Mars oder sonst wo landen will, muss sich einiges überlegen.

  • Wie schnell muss meine Rakete sein, um z. B. von der Erde weg zu kommen
  • Wieviel Gewicht muss ich mitnehmen
  • Wieviel Treibstoff brauche ich für mein Vorhaben
  • Übersteht mein Raumschiff am Zielort die Landung oder zerquetscht mich dort die Schwerkraft
  • Wie komme ich wieder weg?

Die Geschwindigkeit, die hier zur Flucht nötig ist, nennt man die Entweich-Geschwindigkeit. Sie hängt von der Masse des Himmelskörpers ab, von dem man entweichen will und somit auch von ihrer Oberflächenschwerkraft und damit natürlich auch von dessen Radius.

Auf der massereichen Erde brauchten die Astronauten eine über einhundert Meter lange Rakete, die im wesentlichen nur aus Treibstofftanks bestand. Dass neben der Erdanziehung auch der Widerstand der Atmosphäre überwunden werden musste, ist auch ein erheblicher Treibstoff-Fresser.
Um vom Mond wieder weg zu kommen, reichten ganz kleine Triebwerke aus, die die Landefähre wieder in die Umlaufbahn des Mondes brachten, Auch das Raumschiff wog natürlich auf dem Mond nur ein Sechstel, und der Mond hat keine Atmosphäre, was sich auf den Treibstoff-Verbrauch auswirkt.

In der Umlaufbahn angekommen,wurde sie dann vom Service-Modul wieder aufgelesen. Dessen kleines Triebwerk trug das Modul schließlich bis zu dem Punkt, wo die Erdanziehung die Aufgabe dann übernahm, Schiff und Mannen in Richtung Erde zu ziehen.

Alles, was langsamer ist als die jeweilige Entweichgeschwindigkeit eines Himmelskörpers, muss unweigerlich wieder zu Boden fallen, weil irgendwann auf der Flugbahn die Erdanziehung letztlich doch siegt.

Vor der Entweich-Geschwindigkeit gibt es aber noch zwei Fluchtgeschwindigkeiten.
Mit der ersten Fluchtgeschwindigkeit gelangt man in einen Orbit um die Erde, oder eines Himmelskörpers.
Sie beträgt auf der Erde etwa 7,1 Kilometer pro Sekunde. In diesem Orbit kann man ewig bleiben, wenn nichts und niemand stört. Leider hat man hier auf der Erde an dieser Umlaufbahn nicht viel Freude. Sie liegt noch deutlich innerhalb der Atmosphäre. Man wird von ihr rasch abgebremst und würde schließlich doch herunter fallen.

Die zweite Fluchtgeschwindigkeit bringt einem schon in eine elliptische Kepler-Bahn.

Die Entweichgeschwindigkeit, 11,2 km/s ist schließlich stark genug, dass man sich aus dem Schwerefeld der Erde befreit. Dann kann man sich in Richtung Mond treiben lassen, der einem dann mit seinem Schwerefeld in Empfang nimmt.

Entweich-Geschwindigkeit und Oberflächenschwerkraft werden noch eine große Rolle bei den schwarzen Löchern spielen. Aber bis es so weit ist, werden wir noch einige andere sehr interessante Themen behandeln.

Ausblick:

Elementar auf unserer Reise ist, dass wir ein wenig darüber Bescheid wissen sollten, woraus unser Universum im wesentlichen besteht, und was die Welt zusammen hält. Darum wird es ganz unmathematisch in Station 5 unserer Reise gehen.

Auf Station 6 erfahren wir etwas über die Eigenschaften des Lichts.

Station sieben bringt uns an das Lebensende von Sternen, denn die leben zwar lang, aber nicht ewig.

Station acht wird dann vermutlich die Endstation auf unserer Reise zu den schwarzen Löchern sein.

Ihr seht, es bleibt spannend.

Die Reise zu den Schwarzen Löchern, Station 3, “Wiegen anderer Himmelskörper


Seid herzlich gegrüßt.

Bevor es los geht

  • Ich wurde gefragt, ob es nötig ist, immer alle Links zu lesen, die ich so in meine Artikel setze. Ich könnte jetzt “ja” sagen, denn irgendwie finde ich sie alle wichtig, ansonsten stünden sie ja nicht drin, Viele davon sind aber wirklich lediglich meiner Begeisterung für die Themen geschuldet.
    ,also, so ist das durchaus nicht, dass ihr ohne sie abgehängt werdet, hoffe ich zumindest. Und wenn, da bin ich mir sicher, dass das schon das eine oder andere mal doch passiert, dann entschuldige ich mich an dieser Stelle dafür. Ihr könnt ja nachfragen oder “halt” schreien.
    Wenn mal ein link, z. B. der zur Herleitung der Erdmasse wichtig ist, dann gilt das auch nur für die unter euch, die wirklich ins Thema einsteigen wollen.
    Wenn ihr, und das ist absolut freiwillig, nur die Links verfolgt, die auf weitere Artikel von mir führen, dann freut mich das natürlich, und das empfehle ich euch auch, weil ich das immer dann tue, wenn ich glaube, dass diese Inhalte das Verständnis erleichtern, bereichern und ergänzen können. Es ist ja so, dass ich mich ohne meine anderen Artikel in vielen Dingen wiederholen müsste, was zeitraubend und unnötig wäre. Keiner erfindet gerne das Rad neu.
    Also, wie gesagt. Das ist alles freiwillig. Ich frage ja auch nichts ab und es gibt keine Tests. Ihr seid alle selber groß und merkt ja auch, wenn es vielleicht im Nachhinein besser gewesen wäre, sich den ein oder anderen Link nochmal anzuschauen. Zurück geht ja immer…
  • Ach ja, und noch etwas wurde mir per Mail signalisiert. Jemand merkte an, dass die Artikel ja manchmal wieder geändert seien, wenn man sie nochmals nach einiger Zeit liest. Da kann ich nur sagen, dass das eventuell stimmt. Ich merke halt manchmal später noch, dass ein Kapitel nicht so toll war, dass eventuell diese oder jene Information noch fehlte, oder manchmal sogar, dass die Struktur des Artikels noch besser ginge. Von da her kann es sich durchaus lohnen nochmals nach einiger Zeit in die Artikel zu schauen. Das mit diesen Änderungen wird auch so bleiben, denn ich kann ja nicht ewig mit mir hadern, und zaudern, bis ich endlich mal veröffentliche. Somit beziehe ich euch gewisser Maßen dann in die Vervolkommnung der Artikel ein, indem sie später nochmal verändert werden. Außerdem müssen manche auch aktualisiert und renoviert werden, wenn sie nicht mehr dem aktuellen Stand der Wissenschaft entsprechen.
  • Ein letztes noch. Ich bin mir dessen bewusst, dass meine Vorlesefunktion in den Artikeln leider nicht mehr mit allen Browsern läuft. Mit Edge und mit Chrome funktioniert sie perfekt. Mit Firefox und Safari leider nicht mehr. Ich habe keine Ahnung woran das liegt, und mir konnte bisher noch niemand dabei helfen, aber es gibt ein Licht am Ende dieses Tunnels.

So, das waren meine Anmerkungen für euch. Jetzt geht es los.

Was bisher geschah

Im letzten Artikel ging es darum, die Wechselwirkung zwischen zweier Massen kennenzulernen. Wir beschäftigten uns mit der Beschleunigung, der Beschleunigungskraft, mit der Gravitationskonstante und am Ende gab es noch einen Artikel, der uns mathematisch zeigte, wie man mit all diesem Wissen nun die Masse der Erde bestimmen kann. Wir sprachen auch von Johannes Kepler, der in seinen drei Gesetzen die Gesetzmäßigkeiten fand, wie Planeten um ihre Sterne kreisen. Newton konnte nun die Keplerschen Gesetze mit seinen Gravitations-Gesetzen und seiner Himmelsmechanik verbinden. Somit wurde es möglich, auch die Massen von Himmelskörpern zu berechnen, die man nicht einfach mal kurz besuchen kann, um Fallversuche auf ihnen durchzuführen.

Der Tanz

Der Grund, weshalb sich Planeten um ihre Himmelskörper derart bewegen, dass ihre Bewegungen den Keplerschen Gesetzen gehorchen, ist die Massenanziehung zwischen den Planeten und ihren Sternen. Planeten haben einerseits eine Eigenbewegung, die schon von ihrer Rotation bei ihrer Entstehung her rührt, und andererseits werden sie von ihren Sterne von ihren Bahnen nach innen gezogen, wenn sie beispielsweise zu langsam unterwegs sind.
Das bedeutet, dass ein Planet seinen Körper stabil nur auf einer Bahn umkreisen kann, wenn aus der Entfernung heraus die Massenanziehung nicht zu stark ist, und wenn seine Bahngeschwindigkeit passt. Ansonsten würde der Planet entweder nach außen driften, oder gar in den Stern stürzen.

Und jetzt kommt noch was spannendes. Die Sterne, z. B. unsere Sonne ist ja nicht im Weltraum fixiert. Das bedeutet, dass z. B. unsere Erde, oder der Jupiter noch mehr, auch an der Sonne ziehen. Deshalb muss auch der Stern ein wenig mit torkeln, wen Planeten sie umkreisen. Das gilt auch für Planeten, die von ihren Monden umkreist werden. Es dreht sich also nie ein Körper nur um den anderen herum, sondern beide bewegen sich um ihren geometrischen Schwerpunkt herum. Der liegt immer näher beim schwereren Körper.

Und hier wären wir wieder bei den Hebelgesetzen von Archimedes. Erinnert euch, was ihr in euren Kindertagen alles getan habt, damit ihr gut wippen konntet, oder was ihr getan habt, wenn ihr jemanden auf der Wippe verhungern lassen wolltet.
Mit einem Kinderkarussell auf einem Spielplatz konnte man auch eine Menge Unsinn anstellen.

Wo sich Körper zum Tanze die Hände reichen – Schwerpunkt

Bewegen sich zwei Körper im ‘All umeinander, so tun sie das stets um ihren Schwerpunkt herum. Sind beide Massen gleich schwer, so liegt dieser Schwerpunkt genau in der Mitte beider Körper. Ist die eine um die Hälfte leichter, muss sie doppelt so weit von ihm entfernt sein, als die schwerere Masse. Und so weiter.

Da Massen alles in Richtung Mittelpunkt ziehen, kann dieser Schwerpunkt sogar unter der Oberfläche des schwereren Körpers liegen.
Wie auch immer. All dieses Wissen der letzten Artikel können wir nun dazu verwenden, auch die Masse anderer Himmelskörper zu bestimmen.
Schauen wir uns diesen Tanz nun am Beispiel Erde-Mond-System einmal an.
Unser Mond umkreist die erde mit einem durchschnittlichen Abstand von 384000 km in etwa 27,3 Tagen. Genauer bewegt sich das Erd-Mond-System um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Wäre der Mond beispielsweise halb so schwer, wie die Erde, dann müsste er doppelt so weit vom Schwerpunkt entfernt sein, wie diese. Betrüge seine Masse nur ein Drittel, müsste er drei mal so weit vom Schwerpunkt entfernt sein,
Dazwischen sind natürlich auch alle Massenverhältnisse und die dazugehörigen Schwerpunkt-Abstände möglich.

Der Schwerpunkt liegt im Erd-Mond-System noch im inneren der Erde. etwa 1650 km unterhalb der Erdoberfläche und 4720 km vom Erdmittelpunkt entfernt, weil die Mondmasse lediglich ein einundachtzigstel der Erdmasse beträgt.
Mond und Erde umrunden diesen punkt in einem Monat. Astronomen konnten diese Tänzelbewegung der Erde messen und tun das auch bei anderen Planeten, die ihre Sterne umkreisen.
Der Abstand zwischen Mondmittelpunkt und Schwerpunkt ist etwa 81,3 mal so groß, wie der Abstand Erdmittelpunkt und Schwerpunkt.
Demnach ist die Mondmasse um einen Faktor von 81,3 kleiner als die Erdmasse. Er hat somit die 0,0123-Fache Erdmasse.
Der Mond Io ist ungefähr genau so weit von Jupiter entfernt, wie unser Mond von der Erde. Er umkreist Jupiter aber in nur 1,75 Tagen. Daraus kann man errechnen, dass die Schwerkraft des Jupiter 317,9 mal so stark sein muss, wie die der Erde.

Mit diesen Methoden kann man nun auch die Masse aller anderen Planeten berechnen, indem man ihre Umlaufzeiten mit dem Erd-Mond-System vergleicht. Kennt man nun noch die Radien der anderen Planeten, die man durch astronomische Beobachtungen errechnen kann, dann kann man sogar ihre Dichten berechnen. Das alles erspare ich uns aber an dieser Stelle.
Nur so viel als kleiner Vorgriff. Hätten wir Newtons und Keplers Gesetze nicht, dann wäre es ohne die Beobachtungen der Tänzelbewegungen von Sternen oft gar nicht möglich, schwarze Löcher zu finden, denn sie leuchten nun einmal nicht…

Was wiegt nun unsere Sonne?

Wenn man nun den Abstand Erde-Sonne kennt (150 Millionen Kilometer), kann man mit Newtons und Keplers Gesetzen auch ihre Masse berechnen. Daraus folgt eine Masse von 1,989 × 10^30 kg.
Ihr Durchmesser beträgt 1,4 Millionen Kilometer.

Die Berechnung des Abstandes zwischen Erde und Sonne ist gar nicht so einfach. Am besten tut man dies, indem man gleichzeitig von verschiedenen Punkten der Erde aus beobachtet, wenn einer der inneren Planeten Merkur, oder noch besser die Venus für uns vor der Sonnenscheibe vorbei zieht. Der Planet schiebt sich langsam vor die Sonne. Zunächst berührt er quasi ihren Westrand, zieht dann über die Sonnenscheibe hinweg, indem er die Erde auf seiner Innenbahn überholt und verlässt die Sonnenscheibe am anderen Rand dann wieder. Mit den Daten der unterschiedlichen Zeiten und Winkel, an welchen das Ereignis an verschiedenen Orten der Erde beginnt und endet, kann man dann geometrisch Dreiecke bestimmen, mit deren Hilfe man dann den Abstand zur Sonne berechnen kann.

Solche Dreiecksbestimmungen sind in der Astronomie sehr beliebt. Man nennt das Parallaxsen-Bestimmung. Angegeben wird sie stets in Winkel (Grad, Bogensekunden und Bruchteile davon).

Wir werden beim Studium des Lichtes und der Weißen Zwerge darauf zurück kommen.
Wie das genau gemacht wird, ist ohne Grafiken und Bilder nicht leicht zu beschreiben, aber glaubt mir. Es geht. Immerhin habe ich hier eine Geschichte für euch, die den Versuch der Abstandsbestimmung beschreibt.

Zwei Wichtige Venus-Durchgänge

Im Jahr 1677 führte Edmond Halley die bis dahin sorgfältigste Beobachtung eines Merkurtransits durch. Seine Ergebnisse brachten ihn zu der Erkenntnis, dass sich mit Hilfe von Transits der Planeten Merkur und insbesondere Venus die Sonnenparallaxe und damit die Entfernung zwischen Sonne und Erde bestimmen lassen sollte.
Anmerkung:

“Ja, genau. Es ist der Halley, nach dem der berühmte Komet benannt ist.”

Die Methode, die er vorschlug, beruht auf dem Prinzip der trigonometrischen Peilung. Verschiedene Beobachter, die einen Venusdurchgang von weit auseinander liegenden Punkten der Erde aus verfolgen, sehen die Venus unter geringfügig abweichenden Blickwinkeln und damit in etwas anderer Position vor der Sonne. Im Jahr 1716 veröffentlichte Halley in dem Wissen, dass er den Venustransit von 1761 nicht mehr erleben würde, einen dringenden Aufruf zur Beobachtung des Ereignisses mittels der von ihm entwickelten Methodik.
Anmerkung:

Das mit der Beobachtung von Winkeln von verschiedenen Punkten der Erde aus, kennen wir in ähnlicher Weise durch die Bestimmung des Erdradius aus vorigem Artikel.

Fast ein halbes Jahrhundert später segelte eine ganze Armada von Schiffe aus verschiedenen europäischen Ländern bis zu den entlegensten Orten, um Halleys Plan in die Tat umzusetzen. Es war das erste internationale Forschungsprogramm der Menschheitsgeschichte. Unter heute kaum vorstellbaren Anstrengungen und Opfern wurden die Messungen durchgeführt. Da genaue Positionsbestimmungen der Venus auf der Sonnenscheibe schwierig auszuführen waren, ging man einen Umweg. Man versuchte die genauen Zeitpunkte des 2. und 3. Kontaktes zu messen, um damit den Weg der Venus über die Sonnenscheibe für den jeweiligen Beobachtungsort festzulegen. Doch die präzise Messung der Kontaktzeiten scheiterte an einem Phänomen, dass unter der Bezeichnung “Schwarzer Tropfen” in die Astronomiegeschichte einging. Entsprechend ungenau waren die Werte, die man für den Abstand Erde – Sonne erhielt: zwischen 125 und 155 Millionen Kilometern.
Erklärungen:

Den Ablauf eines Transits teilt man in vier Kontakte ein.

  1. Berührung der Sonnenscheibe am Rand
  2. Venus vollständig auf der Sonnenscheibe
  3. Berührung des gegenüberliegenden Randes
  4. ganz Verlassen der Sonnenscheibe.

Was hier mit “Schwarzem Tropfen” gemeint ist, ist ein perspektivischer Effekt, der damit zu tun hat, dass Erde, Venus und die Sonne eben auch rund sind.

Im Jahr 1769 waren erneut zahlreiche Expeditionen in die Gebiete der Erde, von denen aus ein weiterer VenusTransit sichtbar sein würde, unterwegs. Der wohl berühmteste Teilnehmer war James Cook, der den Transit im Rahmen seiner Weltumsegelung von Tahiti aus beobachtete, an einem Ort, der noch heute den Namen “Point Venus” trägt.
Wiederum beeinträchtigte der “Schwarzer Tropfen” die Beobachtungen, aber man war jetzt auf diesen Störfaktor vorbereitet und erhielt deshalb bessere Messwerte. Außerdem hatte man nun die Datensätze von 2 Transiten vorliegen. Daraus berechnete der französische Astronom Jérôme Lalande im Jahr 1771 den Abstand Sonne – Erde zu 153 plus/minus 1 Mio. Kilometern. Die Abweichung vom wahren Wert betrug somit nur etwa 2%. Letztendlich waren die unvorstellbaren Strapazen und Opfer der zahlreichen Expeditionen also von Erfolg gekrönt und Halleys Methode hatte sich allen Widrigkeiten zum Trotz bewährt.

Schlussbemerkungen

Jetzt, wo man den Sonnenabstand kannte, ließ sich natürlich dann mit ähnlichen Methoden auch ihr Radius gut berechnen. Damit hatte man alles zusammen, was man für Newtons Gleichung braucht, um ihr Gewicht zu bestimmen.
Wie das ungefähr geht, hatten wir am Beispiel Erde schon ungefähr gezeigt.

Man darf an dieser Stelle nicht vergessen, dass wir noch immer Probleme haben, die Gravitationskonstante genau zu bestimmen. Das macht sich bei derartig riesigen Massen natürlich bemerkbar. Glücklicherweise gibt es ja noch Keplers Gesetze, so dass man die Bewegungen mit in die Massenbestimmung einbeziehen kann.

Ein letzter Punkt, den ich hier noch erwähnen möchte ist folgender:
Bestimmt man nun anhand des Sonnenradius ihr Volumen und berechnet anschließend noch ihre Dichte, dann muss man sich darüber klar sein, dass dies nur ein durchschnittlicher Wert sein kann. Die Sonne und alle Gasplaneten sind keine homogenen festen körper, die Erde übrigens auch nicht. Das bedeutet, dass ganz besonders bei Gas-Kugeln die Dichte in ihrem Inneren deutlich höher ist, als an ihrer Oberfläche. Daraus folgt, dass sich Gase durch die Gravitation komprimieren lassen. Natürlich erleben wir das im Alltag. Ansonsten wären Luftballons nicht weich sondern Stein hart. Gase kann man drücken, bis sie flüssig sind, was man beim Schütteln eines vollen Feuerzeugs hört. Flüssigkeiten kann man quetschen, bis sie fest sind, was wir im Alltag eher selten erleben.
Feste Körper verändern sich eventuell auch unter Druck. Kohlenstoff wird beispielsweise Diamant, wenn ihm platzmäßig chemisch nichts mehr anderes übrig bleibt.

Die letzte Frage wäre jetzt noch, was passiert, wenn man dann weiter drückt?
Das wird alles in den nächsten Artikeln zur Sprache kommen,
Wir werden dann zur Abwechslung mal nur wenig über Gravitation sprechen. Es wird um viel Leere und den Aufbau unseres Universums gehen. Außerdem müssen wir uns auch noch dem widmen, was schwarze Löcher letztlich schwarz macht, dem Licht, dass dort nicht weg kommt.
All dem werden wir auf unserem Weg zu den schwarzen Löchern noch begegnen. Das verspreche ich euch.

Zu guter letzt gibt es jetzt noch etwas auf die Ohren.
Wer bei mir im Vortrag war, durfte sich mit mir die verklanglichten Umlaufbahnen aller Planeten des Sonnensystems anhören. Wir sind jetzt an dem Punkt, wo wir diesen Sound erwähnen wollen.
Wer sich diese Planetenbahnen anhören möchte, dem darf ich wärmstens meinen Artikel Klingende Planetenbahnen ans Herz legen. Dort wird der Sound genau erklärt, und ihr könnt ihn euch anhören.

Die Reise zu den Schwarzen Löchern, Station 2 – wir “wiegen” die Erde


Liebe Leser*innen,

und hiermit melde ich mich zu unserer zweiten Station auf der Reise zu den schwarzen Löchern.

Wir haben auf der ersten Etappe gelernt,

  • dass alle Körper eine Masse und auch ein Volumen besitzen.
  • Wir wissen aus dem Alltag, dass schwere Dinge nicht unbedingt groß sein müssen und leichte nicht klein.
  • Archimedes hat uns gezeigt, dass man zumindest feste Körper, die sich in Wasser nicht auflösen, ganz gut auf ihr Masse/Volumen-Verhältnis, Dichte, untersuchen kann.

Wer den vorigen Artikel noch nicht gelesen hat, sollte dies vielleicht für das Verständnis des folgenden noch nachholen.
Zur Wiederholung von Station 1 dieser Reise geht es hier lang.

Heute gehen wir hier einen Schritt weiter. Zunächst geht es um die Beobachtung, dass alle Gegenstände in unserem Alltag auf die Erde fallen. Die Erde zieht also alles in unserer Umgebung an.
Unsere Reise führt uns zunächst ins Italien des ausgehenden Mittelalters zu Galileo Galilei, der uns durch seine Fernrohre und den Satz

Und sie dreht sich doch.

bekannt sein dürfte. Er lebte ungefähr zeitgleich zu Johannes Kepler, der nachher noch eine Rolle spielen wird.

Beschleunigung

Galileo Galilei vermaß im 16 Jahrhundert erstmals die Wirkung, welche die Erde durch ihre Schwerkraft auf fallende Körper ausübt. Wie schnell ein fallender Körper auf der Erde ankommt oder einschlägt hängt im wesentlichen davon ab, aus welcher Höhe er fallen gelassen wird. Seine Masse spielt dabei keine Rolle. Wieso Körper auf der Erde unterschiedlich rasch fallen liegt an ihrem Volumen und ihrer Beschaffenheit. Eine Vogelfeder wird durch die Luft in ihrem Fall gebremst. Ein Mensch kann aus 4000 m Höhe mit einem Fallschirm gemütlich zur Erde gleiten. Hätte er ihn nicht, oder gäbe es die ihn bremsende Luft nicht, dann ginge die Sache für ihn böse aus. David Scott, Astronaut der Mondmission Apollo 15, bewies Galileis 400 Jahre altes Gesetz, dass im Vakuum alle Körper gleich schnell fallen würden. Er ließ aus Hüfthöhe gleichzeitig eine Vogelfeder und einen Hammer auf die Oberfläche des Mondes fallen. Beide kamen gleichzeitig an. Auf der Erde wäre die Feder durch die Luft gebremst worden und hätte sich gegenüber dem Hammer verzögert.
Die Kraft, die ein auf die Erde fallender Körper von ihr erfährt bewirkt, das seine Fallgeschwindigkeit pro Sekunde um 980 cm/s zu nimmt.
Der Rums eines fallenden Körpers hängt also zum einen von seiner Masse ab und zum anderen davon, wie lange der Körper Zeit zum fallen hat, will sagen, aus welcher Höhe man ihn los gelassen hat.
Man nennt diese Einheit Beschleunigung. Sie beträgt also für die Erde 980 cm geteilt durch Sekunde zum Quadrat $(980 cm/S^2)$.
Sie ist die Maßeinheit für die Geschwindigkeitszunahme pro Zeit, die in unserem Falle die Erdmasse mit ihrer Anziehungskraft auf einen auf sie zurasenden Körper bewirkt.
Es geht die Legende, dass Galilei Fallversuche vom schiefen Turm zu Pisa gemacht haben soll. Aber was genaues weiß man nicht.

Mein Schulerlebnis

Was stimmt, ist ein Erlebnis, das ich in der Schule hatte. Wir stiegen mit unseren Physiklehrer auf einen Turm. Wir wollten mit einer Stoppuhr messen, wie lange unterschiedliche Gegenstände so fallen. Als unser Lehrer es mit einem Stein versuchen wollte, nahm das Verhängnis seinen Lauf. In einer Hand die Uhr und in der anderen den Stein bereitete er sich auf den Versuch vor. Gebannt standen wir bei ihm und waren gespannt.

“Auf die Plätze, fertig los” durfte einer von uns rufen. Dann geschah kurz nichts. Bis wir ein etwas klirrendes Geräusch von unten her vernahmen. Seltsam, dachte ich. So klingt ein Stein eigentlich nicht. Was hier geschehen war. Unser Lehrer drückte beherzt den Knopf der Stoppuhr und warf gleichzeitig den Stein, dachte er. In Wahrheit drückte er beherzt auf den Stein und warf die Uhr hinab.
Für diese Stunde waren die Experimente damit passee, denn wir hatten unseren Zeitmesser verloren…

Aber zurück zur Beschleunigung.

Überlagerungen

Wie gesagt wird die Beschleunigung durch die Kraft einer Masse, die Gravitation auf fallende Körper ausgeübt. Wir kennen dank Galilei ihren Wert hier auf der Erde.
Auf dem Mond ist die Beschleunigung geringer, weil er weniger Masse besitzt. Somit kann er auf fallende Körper nur weniger Kraft ausüben.
Aber nochmal. Ein Rums auf dem Mond muss deshalb nicht weniger heftig sein, wenn man der auf ihn zu rasenden Masse, z. B. einem Asteroid genügend Zeit gibt. Und die hat er im Weltall allemal.

Galilei fand bei seinen Fallversuchen auch heraus, dass sich Bewegungen überlagern können. Das kann man z. B. an einem Wasserstrahl sehen, der aus einem gerade aus gehaltenen Schlauch spritzt. Er beschreibt einen Bogen, genauer einen Teil einer Parabel, bis die Tropfen auf die Erde fallen. Das Wasser wird also sobald es den Schlauch verlassen hat, von der Erde mit der Erdbeschleunigung beschleunigt, so dass die Tropfen zu fallen beginnen. Gleichzeitig schießt der Strahl aber durch den Wasserdruck geradeaus aus dem Schlauch heraus. Diese beiden Bewegungen überlagern sich zeitlich, weshalb der Strahl gebogen wird, ehe er zu Boden fällt.

Hält man den Schlauch schräg nach oben, dann steigt der Strahl zunächst bogenförmig in die Höhe und fällt dann bogenförmig zu Boden. Das liegt daran, dass die Kraft des Wasserdrucks aufhört, sobald der Wasserstrahl den Schlauch verlässt, die Kraft der Erdbeschleunigung aber nicht. Sie wirkt und wirkt. Somit bremst sie die fliegenden Wassertropfen ab, überwiegt schließlich und lässt das Wasser auf die Erde fallen.

Die Kraft, die eine Beschleunigung auf eine Fallende Masse ausübt, wird also mit der Fallzeit stärker. Sie berechnet sich also als Masse mal Beschleunigung.

Was Kepler nicht wusste

Johannes Kepler wusste um diese Überlagerungen von Bewegungen. Planeten umkreisen ihre Sterne, weil sie einerseits von ihnen angezogen und andererseits eine Eigenbewegung haben. Ohne Stern würden sie geradeaus ins nirgendwo verschwinden. Die Kravitation zwingt sie dazu, dass sich diese Kräfte überlagern. Sie fallen also elliptisch um ihre Sterne herum. Was aber für diese Anziehung verantwortlich ist und weshalb die Planetenbahnen sind, wie sie eben sind, wusste er nicht genauer. In seinen drei Keplerschen Gesetzen tauchen keine Massen, keine Kräfte und schon gar keine Gravitationskonstante, von welcher wir später noch hören werden, auf. Sie verallgemeinern lediglich die Beobachtungen, die Kepler bei den Studien der Planetenbewegungen machte.

Schwere und träge Masse

Aus Galileis Fall-Versuchen folgt auch, dass eine Masse sich widersetzt, wenn man sie in eine Richtung beschleunigen möchte. Sie will ihre Bewegungsrichtung beibehalten, oder hier auf Erden gedacht, in Ruhe gelassen werden. Das Wasser aus dem Schlauch möchte einfach in die Richtung weiter fliegen, in welche der Schlauch zeigt, aber die Kraft der Erdanziehung und natürlich auch die Luft bremsen ihn ab, zwingen den Strahl zur Änderung der Richtung und zieht ihn letztlich doch zu boden.
Und noch etwas kann man aus all dem folgern.
Ein schwerer Körper kann aus niedriger Fallhöhe eben so viel Schaden anrichten, wie ein leichterer und kleinerer Körper, der aus größerer Höhe fällt, und somit mehr Zeit hat, sich mit “Kraft” aufzutanken.
Betrachtet man nur den Schaden, dann kann man nur noch schwer feststellen, ob die Masse einfach schwer war oder aus einer größeren Höhe fallen gelassen wurde. Sicher kann man das z. B. in dem man einen Krater oder so betrachtet dann doch noch beurteilen, aber erst mal nicht.
Eigentlich müsste man an dieser Stelle noch den Begriff der Energie und der Arbeit einführen, aber das sparen wir uns für heute.

Auf jeden Fall führt uns dieser scheinbare Unterschied zwischen schwerer und bewegter Masse nach England zu einem Mathematiker, der sich mit dieser Frage beschäftigte.

Newtons Apfel

Am Anfang steht auch hier eine Geschichte, die vielleicht sogar wahr ist.
Im Sommer 1665 legt sich Isaac Newton im Garten seines Elternhauses in Woolthorpe nahe Cambridge unter einen Apfelbaum. Vermutlich ist ein schöner Sommertag, vermutlich weht ein leichtes Lüftchen. Auf irgendeine Art und Weise jedenfalls löst sich ein Apfel der Sorte “Flower of Kent” vom Ast und fällt zu Boden. So wird es der inzwischen berühmte Physiker über 60 Jahre später, am 15. April 1726, seinem Freund und Biografen William Stukeley erzählen.
Ob der Apfel Newton am Kopf trifft oder in einiger Entfernung aufprallt, ist in unterschiedlichen Versionen überliefert. So oder so löst das Ereignis in der Physik ein Erdbeben aus.

Warum müssen Äpfel immer senkrecht zu Boden fallen, warum nicht seitwärts oder aufwärts, warum immer Richtung Erdmittelpunkt?”,

wird Newton später schreiben. “Sicher ist der Grund dafür, dass die Erde den Apfel anzieht.” Newton hat das allgemeine Gravitationsgesetz gefunden.
Isaac Newton fand heraus, dass die Schwerkraft eines Körpers von seiner Masse abhängt. Somit ist Masse nicht nur die Kraft, die einem ein Körper entgegensetzt (träge Masse) sondern sie ist auch eine Eigenschaft der Materie selbst (schwere Masse). Sie sind also nichts verschiedenes, sondern dasselbe.

Das bedeutet, dass man für die Berechnung der Wechselbeziehungen der Schwerkraft zwischen Körpern gar nicht so sehr auf ihr Volumen achten muss, sondern man kann die Massen als Punktmassen betrachten.
Somit übt die Gravitation der Erde eine Kraft auf fallende Körper aus, die dafür sorgt, dass fallende Körper immer schneller fallen.

Wichtig wird das Volumen natürlich dann,

  • wenn man sich auf den Körpern, z. B. auf der Erde befindet,
  • wenn man dort Dichten und Wichten verschiedener Körper miteinander vergleichen möchte,
  • wenn man wissen will, wie lange ein Gegenstand für seinen Fall zu Boden aus einer bestimmten Höhe benötigt
  • oder wenn man sich mit einer Rakete z. B. von der Erde entfernen möchte.

Die Kraft F berechnet sich aus Masse mal Beschleunigung. Sie wird in Newton angegeben
1 Newton (N) berechnet sich aus Masse mal Erdbeschleunigung, Näherungs weise 1 kg * Meter/s^2.

Newton entdeckte auch noch die Eigenschaft der Gravitation, dass sie quadratisch zum Abstand zweier Massen abnimmt.

Newtons Problem

Newton hatte aber nun noch ein Problem. Wenn zwei Massen gravitativ miteinander wechselwirken, dann muss es für die Berechnung auch eine Gravitationskonstante geben. Eine Konstante, die ausdrückt, mit welcher Kraft zwei gleiche Massen gravitativ miteinander wechselwirken. Kennt man diese Konstante nicht, dann kann man nicht im voraus berechnen, wie zwei unterschiedliche Massen gravitativ aufeinander wirken. Im Falle sich zweier umkreisender Körper, z. B. Erde und Mond könnte man noch die Massenverhältnisse beider Körper angeben, wenn man deren Abstand kennt, aber mehr auch nicht.

Die genaue Bestimmung dieser Gravitationskonstante G ist bis heute ein Problem, weil die Kraft, die zwischen zweier gleichen Massen mit gegebenem Abstand, z. 1 m wirkt äußerst gering und somit nur sehr schwer zu bestimmen ist. Erschwerend kommt hinzu, dass hier auf Erden zu viele andere Störeinflüsse, die Erdmasse selbst, Wind, Vibrationen und sogar die Anwesenheit des Versuchsleiters, der mit seiner eigenen Masse beim Versuch anwesend ist, existieren. Somit konnte Newton lediglich Massen proportional zueinander ins Verhältnis setzen. und in Versuchen überprüfen, ob seine Schätzung auf einen gegebenen Versuchsaufbau, bei welchem alle anderen Parameter, wie Versuchsmassen und Abstände passen.
Bestimmt wurde die Gravitationskonstante 200 Jahre nach Newton von Mark Cavendish. Er dachte sich einen besonderen Versuchsaufbau aus. Er nahm zwei Körper, deren Gewicht genau bekannt war und verband diese ähnlich, wie eine Hantel mit einer Stange. Dieses Gebilde hängte er an einem Draht im Gleichgewicht aus, dessen Torsionskraft (Rückstellkraft) bekannt war. Diese Kraft setzt ein Draht entgegen, wenn man ihn in sich verdreht. Nun beeinflusste er sein Gebilde mit zwei weiteren seitlich an seinen Versuchsaufbau geführte massen, die durch ihre Gravitation Cavendishs Torosionswaage leicht verdrehten. Diese Drehung beobachtete Cavendish mittels eines Spiegels, der am Draht befestigt war und einen Lichtstrahl ablenkte. Beobachtet hat Cavendish seinen Versuch aus der Ferne mit einem Fernrohr, um zu vermeiden, dass er selbst mit seiner Körpermasse den Versuch beeinflusst.
Somit bestimmte er zum ersten male näherungsweise die Gravitationskonstante. Bis heute ist sie zwar genauer angenähert worden, bereitet aber ab der vierten Stelle nach dem Dezimalpunkt noch Probleme, was äußerst unbefriedigend ist.

Wie auch immer. Wir lösen jetzt unser Versprechen ein und werden unsere Erde “wiegen”, wobei “wiegen” im Grunde nicht richtig ist, denn man kann die Erde nicht einfach auf eine Waage legen. Man muss eher sagen, dass wir das Gewicht der Erde bestimmen wollen.

Wer mag kann ja dann die Länge des Hebels berechnen, mit dem Archimedes aus dem vorigen Artikel die Welt aus den Angeln heben wollte.

Was wissen wir

Tragen wir also mal zusammen, was wir über unsere Aufgabe wissen.

  • Wenn Newton generell von Punktmassen ausgeht, dann dürfen wir die Erde als perfekte Kugel ansehen und die zweite Masse mit der sie gravitativ wechselwirken soll ebenso.
  • Die Gravitationskraft nimmt quadratisch zum Abstand Erde-Vergleichsmasse ab.
  • Die Masse der Erde kennen wir nicht. Die soll ja berechnet werden.
  • Ihren Radius kennen wir.Schon die alten Griechen berechneten an Schattenwürfen den Erdradius. Er beträgt ungefähr 6300 km. Siehe Die Bestimmung des Erdradius nach Eratosthenes.
  • Wir kennen das Gewicht einer Vergleichsmasse, mit deren Hilfe das Gewicht der Erde berechnet werden soll, denn die Erde muss ja mit etwas wechselwirken, damit sie uns ihr Gewicht verrät.
  • Wir kennen den Abstand zwischen der Erde und unserer Vergleichsmasse.
    Da Newton von Punktmassen ausgeht, errechnet sich dieser aus Erdradius plus Abstand zur Vergleichsmasse plus deren Radius.
  • Dank Galileo kennen wir die Erdbeschleunigung von 980 cm/s^2
  • Dank Cavendishs Versuchsaufbau kennen wir nun auch diese schwer zu bestimmende Gravitationskonstante G.
    Sie beträgt im ganzen Universum
    G = f(G) * R^2 /m1 *m2
    G = (6,67259 Plus-minus 0,00085) mal 10 hoch(-11)
    $G = (6,67259 \pm 0,00085) \times 10^{-11}$
  • Und dank Newton kennen wir die Kräftegleichung.

Die Gleichung, wie man sie umstellt und deren Herleitung, wie man man damit das Gewicht der Erde bestimmt, knalle ich euch jetzt einfach mal hier hin.
Keine Angst. Es ist mathematisch wirklich kein Hexenwerk. Die Formeln sind tatsächlich überschaubar. Man muss halt drauf kommen…
Die Formeln in dem Artikel, auf den ich euch gleich schicke, sind in LaTeX gesetzt und werden auch grafisch dargestellt. Auf Braille-Zeilen werden sie in englischer Mathematikschrift angezeigt, weil der Export von Mathjax nach Marburger Mathematikschrift derzeit noch nicht möglich ist.
Deshalb wähle ich hier zusätzlich auch noch eine für uns lesbarere Schreibweise.
Möglicherweise setze ich, wenn ich Zeit habe, die ganze Herleitung noch für Braille-Zeilen um.
Die Kräftegleichung lautet: G = f(G) * R^2 /m1 *m2
Zur Herleitung der Erdmasse geht es hier lang.

Abspann

Jetzt wäre es natürlich interessant zu wissen, was z. B. die Sonne, andere Planeten, andere Sterne und schließlich auch schwarze Löcher wiegen.
Mit diesen Themen befassen wir uns in Station 3 dieser Serie.
Jetzt hoffe ich, dass es nicht zu viel Mathematik war, aber ganz ohne ging es halt hier nicht.

Die Reise zu den Schwarzen Löchern, Station 1, Der Mann in der Wanne


Liebe Leser*innen,

Vor einigen Wochen erhielt ich plötzlich eine Mail von meinem alten Schulfreund Oli aus Marburg. Von 1989 – 1992 besuchten wir gemeinsam die Oberstufe der Blindenstudienanstalt in Marburg zwar auf unterschiedlichen Schulzweigen, aber so kam es, dass wir doch manche Kurse gemeinsam belegten. Ganz besonders sind mir die gemeinsamen Physik-Kurse in der 12 und in der 13 in Erinnerung. Ein Kurs drehte sich sogar um Grundlagen der Astronomie, insbesondere der Himmelsmechanik. Oli verschlug es dann in die Psychologie und mich in die Informatik. Ich trieb von uns beiden die Astronomie aber einfach bis heute weiter. Oli gedachte meiner und fragte mich an, ob ich mir vorstellen könne, für die Fachgruppe Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften (MINT) des Selbsthilfevereins Deutschen Verein für Blinde und Sehbehinderte in Studium und Beruf (DVBS) einen Astronomie-Vortrag halten würde. Sie wollten gerne mal etwas über das übliche MINT hinaus anbieten. Er schlug das Thema Schwarze Löcher vor. Da ich noch nie einen Vortrag darüber hielt, nahm ich diese Herausforderung gerne an. Für mich war es eine Gelegenheit, mich mal systematisch an dieses Thema heran zu wagen und mich daran zu versuchen, dieses populärwissenschaftlich zu vermitteln. Dazu kam natürlich der Umstand, dass momentan ja noch alles online stattfinden muss. Auch mit Folien konnte ich an dieser Stelle nicht arbeiten, weil viele der teilnehmenden Menschen sie sowieso nicht hätten sehen können. Natürlich habe ich im Laufe meiner 30jährigen Astronomie-Tätigkeit schon einiges über diese schwarzen “Monster” gelesen, aber ich merkte sehr bald schon, dass es gar nicht so einfach ist, sich dieser Dinger Schritt für Schritt zu nähern.
Mich trieben die Fragen um:

  • Welche Grundlagen sind für das Verständnis nötig?
  • Was kann man voraus setzen?
  • Was muss man erklären?
  • Wie gehe ich den Spagat, so viel Mathematik wie nötig, aber so wenig wie möglich einzusetzen? Den musste ich dringend finden, denn bis auf wenige Tatsachen spreche ich die Sprache der Mathematik selbst zu schlecht, um Einstein in seinen Einzelheiten je verstehen zu können.

Ein grundsätzliches Prinzip meiner Vorträge ist, dass ich nur wenig ansprechen möchte, das ich nur ablesen müsste, weil ich es selbst nicht besser weiß. Somit vermittle ich nur das, was ich selbst verstanden habe und zeige immer an, wo mein Verständnis aufhört. Alles andere wäre unehrlich und unfair. Also stürzte ich mich in mein Archiv, in meine Bücher, auf meine Artikel und suchte zusammen, was passen könnte.

Warum es eine Serie wird

Das Interesse der Teilnehmenden war nach dem Vortrag so groß, dass ich mich dazu breit schlagen ließ, ihnen etwas aus meiner Stichwortliste, mit der ich den Vortrag hielt, anzubieten, damit sie es nochmal nachlesen könnten. Ich ahnte nicht, worauf ich mich da einließ.

Bald schon merkte ich, dass das, was wir in diesen fast drei Stunden streiften, auf keinen Fall in einen einzigen Artikel auf dem Blog passen würde.
Aus diesem Grund entschied ich mich für eine Serie von Artikeln, die die Reise zu den schwarzen Löchern beschreiben wird.
Dies ist nun Station 1.

Fangen wir bei den alten Griechen an.

Die Legende

Alles beginnt mit einem Ausruf.
“Heurek!!!a” ist altgriechisch und heißt „Ich habe [es] gefunden“. Der Spruch ist vor allem im Zusammenhang mit Archimedes von Syrakus überliefert und bekannt. Er lebte um 200 v. Chr. und war Hofmathematiker am Hofe des Königs Hieron II
Archimedes hatte die Aufgabe, den Goldgehalt einer vom seines Herrscher den Göttern geweihten Krone zu prüfen, ohne sie jedoch zu beschädigen. Der König verdächtigte den Goldschmied, ihn betrogen zu haben.

Archimedes soll der Legende nach die Lösung, das Archimedische Prinzip genannt, beim Baden entdeckt haben. Aus seiner randvollen Wanne sei jene Wassermenge ausgelaufen, die er beim Hineinsteigen ins Bad mit seinem Körpervolumen verdrängte. Glücklich über seine Entdeckung soll er mit oben erwähnten Ausruf „Heureka!“ nackt auf die Straße gelaufen sein.
Ob die Legende stimmt, weiß man nicht genau. Es gibt durchaus Kritiker, die bezweifeln, ob man damals mit den Möglichkeiten der Volumens- und Gewichtsmessung schon auf dieses Archimedische Prinzip hätte kommen können.

Er entdeckte, dass er mit seinem Körper Wasser verdrängte, weshalb die Wanne überlief. Aus der Tatsache heraus, dass er dennoch nicht unterging, sondern schwamm, schloss er vermutlich, dass die verdrängte Wassermenge genau seinem Körpergewicht entsprechen sollte.
Und da kam ihm die Idee zur Lösung seiner Aufgabe, die er offenbar im Trockenen mit einer normalen Balkenwaage nicht lösen konnte. Die war damals sicherlich schon bekannt, denn man musste für den Handel schon immer Massen verschiedener Güter und deren Mengen miteinander vergleichen und deren Wert gegeneinander aufrechnen. Selbstverständlich war auch bekannt, dass alle Dinge etwas wiegen, also ein Gewicht, eine Masse besitzen. Und das tat Archimedes, um die Krone zu wiegen.

Der Versuch

Der König wusste, zu welchen Anteilen die Krone aus Silber und zu welchen sie aus Gold bestehen musste, denn er hatte sie ja nach seinen Vorgaben bei einem Goldschmied, dem er misstraute in Auftrag gegeben.

Archimedes nahm nun die Krone und jeweils einen Gold- und einen Silberbarren, die beide zusammen dem Gewicht der Krone und dem Mischungsverhältnis des in der Krone enthaltenen Gold und Silbers entsprachen.
Um nun die gestellte Aufgabe zu lösen, tauchte Archimedes zunächst die Krone und dann nacheinander den Gold- und den Silberbarren, die zusammen dem Gewicht der Krone entsprachen in ein randvolles Gefäß mit Wasser.
Nun maß er die Menge des überlaufenden Wassers. Die Krone verdrängte mehr Wasser als die beiden Barren. Dadurch war bewiesen, dass die Krone ein kleineres spezifisches Gewicht hatte und daher nicht ganz aus der Metallmischung gefertigt war, als der König es in Auftrag gegeben hatte.
Vielleicht setzte er auch zum Gegenversuch eine Balkenwaage ins Wasser, auf deren einen Seite die Krone und auf deren anderer Seite die zwei Barren lagen. Krone und Barren wogen also an Land gleich viel. Den Ausschlag für den Fehler gab also das unsichtbare unterschiedliche Volumen.

Ob die Legende jetzt stimmt, oder nicht. Für uns ist sie von höchster Bedeutung.

Masse und Volumen

Sie zeigt uns den Zusammenhang zwischen der Masse eines Körpers und dessen Volumen, der Dichte.
Dass Dinge unterschiedlich viel wiegen, kennen wir aus unserem Alltag. Vergleicht man zwei Körper des selben Materials, so ist klar, dass der schwerere von beiden auch der größere sein muss. Bei der Krone war das eben nicht so klar. Der Rauminhalt einer Krone ist unmöglich mit dem zweier Metallbarren zu vergleichen. Wasser, das sich flüssig um die Körper schmiegt, macht den Vergleich dann doch möglich.
Wegen dieses Vergleichs-Problems, hat man ein Maß (Masse pro Volumen), die Dichte eingeführt, um spezivische Gewichte miteinander vergleichen zu können.
Da Archimedes wusste, aus wieviel Gold und wieviel Silber die Krone bestehen sollte, und seine Waage auf dem Trockenen scheinbar Krone und Barren im Gleichgewicht anzeigte, versuchte er es mit wasser.

Er fand, wir erinnern uns, in seiner Badewanne heraus, dass ein Gegenstand in Wasser geworfen nur so viel Wasser verdrängen kann, das seinem eigenen Gewicht entspricht. Dabei hängt die Verdrängung vom Volumen des Körpers ab. Ein Schiff schwimmt, weil sein Volumen sehr groß ist. Würde man einen Stahlklumpen in Wasser geben, der dem Gewicht des Schiffes entspricht, so ginge er unter, weil sein kompaktes Volumen nicht in der Lage wäre, die Menge Wassers zu verdrängen, die seinem Gewicht entspräche.

Ob etwas schwimmt, schwebt oder sinkt, hängt somit nicht nur von der Masse ab, sondern auch vom Volumen.
Wasser gab man nun die Dichte 1. Ein Liter wasser wiegt ein Kilogramm und nimmt das Volumen von 10 * 10 * 10 =1000 cm^3 bei Raumtemperatur ein.
Ein Kubikmeter Luft wiegt dagegen 1,225 kg pro m³, bei Normaldruck und Raumtemperatur.
Der Gasriese Saturn mit seinen schönen Ringen würde mit seiner Dichte von 687 kg/m³ in archimedesens Badewanne schwimmen. Bei Gasen nimmt man oft die Maßeinheiten kg und M*3, weil man sich dadurch viele Nullen hinter dem Dezimalpunkt spart.

Die Volumina aller Körper, ob fest, flüssig oder gasförmig sind abhängig von ihrer Umgebungstemperatur.
Insbesondere Gase dehnen sich pro 1 Kelvin um etwa 1/273 ihres Volumen aus, bzw. ziehen sich zusammen bei Abkühlung.

So weit, so gut. Archimedes konnte jetzt Massen mit Wasser vergleichen. und das irdische Gewicht von Körpern auf der Erde bestimmen. Aber Masse an sich und vor allem über die Schwerkraft wusste er wenig.

Gravitation – Die Kraft zur Masse

Masse, Volumen und Gravitation sind, wie wir auf unserer Reise zu den Schwarzen Löchern noch sehen werden, eng miteinander verwoben. Deshalb lade ich euch zum Schluss dieses Artikels dazu ein, die zur Masse gehörende würdige Kraft, die heimliche Herrscherin des Universums, näher kennen zu lernen.
Ich empfehle, dass ihr euch mit dieser Dame mit unten stehendem Link etwas vertraut macht,
da wir die Inhalte des Artikels für unsere nächsten Stationen voraussetzen, um nicht alles wiederholen zu müssen.
Zur heimlichen Herrscherin geht es hier lang.

Abspann

Archimedes war auch noch in anderen Disziplinen ein großes Genie. Von Physik, Mathematik, Geometrie und Berechnungen von Volumina bis zum Bau von Flaschenzügen und Kriegsmaschinen befasste er sich quasi mit allem.
“Gib mir einen Punkt, wo ich hintreten kann, und ich bewege die Erde” – So soll er sein Hebelgesetz veranschaulicht haben, belegt in Pappos “Synagoge”, einer Sammlung mathematischer Abhandlungen.
“Störe meine Kreise nicht”  ist eine Redewendung, die wir bis heute in mehrdeutiger Hinsicht benutzen und die der Legende nach auf Archimedes zurück geht.
Dieser Legende nach war er eines Tages damit beschäftigt, geometrische Figuren in den Sand zu zeichnen, als die Römer anrückten, um ihn festzunehmen. Archimedes war jedoch so sehr in seine Aufgabe versunken, dass er barsch mit dem Satz reagierte: Störe meine Kreise nicht. Dies machte einen der Soldaten so zornig, dass er den alten Mann erschlug.

So, meine lieben, das war die erste Station auf unserer langen Reise zu den schwarzen Löchern. Station 2 wird uns ins vereinigte Königreich und ins Italien des ausgehenden Mittelalters führen.

Dort werden wir u. A. erfahren, wie man Planeten und Sterne wiegt.